Šiandien sprendžiau šiuos uždavinius. Įdomu tai, kad prireikė praktiškai viso laiko — net 4 valandų. O uždavinių tik keturi. Smagiai pramankštinkite savo smegenus, jei netingit. (4 itin sunkiai įrodomas, 2 šiaip nelengvas, 1 lengvokas, bet buvo tokių, kurie suklydo, o 3 tikrai lengvas, bet labai gražus)
- Nustatykite, kiek yra natūraliųjų skaičių, užrašomų vien nuliais, vienetais ir dvejetais bei mažesnių už 1002002001. (Gavau 21195)
a, b, c, d yra keturi skirtingi pirminiai skaičiai, tenkinantys lygybes
2a + 3b + 5c + 7d = 162
11a + 7b + 5c + 4d = 162
Rasti visas sandaugos abcd reikšmes (Gavau vienintelę galimą reikšmę 570; tiesa, originaliai a, b, c ir d buvo pavadinti p1, p2, p3 ir p4, bet vardan patogumo parašiau skirtingomis raidėmis)- ABCD yra kvadratas, o ABE — lygiakraštis trikampis, esantis kvadrato išorėje ir turintis su juo bendrą kraštinę AB. Kam lygus trikampio CDE apibrėžtinio apskritimo spindulys, jei kvadrato ABCD kraštinė lygi 1? (Gavau 1)
- Raskite visus tokius natūraliųjų skaičių trejetus (a,b,c), kad a, b ir c būtų stačiojo trikampio, kurio plotas lygus a+b+c, kraštinių ilgiai. (Gavau keturis: (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 6, 10), (12, 5, 13))
UPDATE: Pasirodo, surinkau 19 taškų iš 20 (kiekviena užduotis buvo įvertinta 5 taškais) ir užėmiau antrą vietą mieste. Smagu (:
Šiandien vėl vyko kasmetinis matematikos konkursas “Kengūra”, kuriame begaliniškai daug Lietuvos ir pasaulio mokinių “tikrinasi savo žinias” (iš tiesų, visi ten eina tik dėl pieštuko, kurį padovanoja, visa kita nelabai svarbu). Jau iš mokyklinio amžiaus išaugusiems ar dėl kitų priežasčių nedalyvavusiems — Senjoro (aukščiausio) lygio kai kurie uždaviniai:
Lengvesni uždaviniai (po 3 taškus):
- Skaičiai 3 ir 4 bei dar du nežinomi skaičiai surašyti į 2 x 2 lentelės langelius. Duota, kad eilučių skaičių sumos yra 5 ir 10, o vieno iš stulpelių abiejų skaičių suma yra 9. Kam lygus didesnysis iš tų nežinomų skaičių?
- Lentelėje yra 21 stulpelis, sunumeruotas skaičiais 1, 2, …, 21, ir 33 eilutės, sunumeruotos skaičiais 1, 2, …, 33. Iš lentelės išbraukiamos visos eilutės, kurių numeris nesidalija iš 3, ir visi stulpeliai su lyginiais numeriais. Kiek langelių liko lentelėje?
- Tiesėje paimti 5 skirtingi taškai A, B, C, D ir E išvardyta tvarka. Kuriam tiesės taškui P atstumų suma PA + PB + PC + PD + PE mažiausia?
- Nora nori skaičiaus 2**8 žvaigždutes pakeisti skaičiais taip, kad gautas keturženklis skaičius dalytųsi iš 3. Keliais būdais Nora gali išpildyti savo norą?
Šiek tiek sunkesni uždaviniai po 4 taškus:
- Iš septynių skaičių -9, 0, -5, 5, -4, -1 ir -3 šeši buvo suskirstyti į poras taip, kad kiekvienos poros skaičių suma buvo ta pati. Kuris skaičius liko nepaimtas į porą?
- Matematikos konkurse reikėjo spręsti 5 uždavinius, įvertintus skirtingais natūraliaisiais taškų skaičiais. Robertas teisingai išsprendė visus 5 uždavinius ir uždirbo 10 taškų už 2 lengviausius uždavinius bei 18 taškų už 2 sunkiausius. Kiek taškų jis surinko iš viso?
- Naudodamasi trimis spalvomis, Matilda nupiešė 36 kengūrėles. 25-iose kengūrėlėse yra geltonos spalvos, 28-iose kengūrėlėse yra rudos spalvos ir 20-yje kengūrėlių yra juodos spalvos. Tik 5-ios kengūrėlės yra trispalvės. Kiek vienspalvių kengūrėlių nupiešė Matilda?
Sunkūs uždaviniai po 5 taškus:
- Stačiakampio gretasienio briaunų ilgiai yra sveikieji skaičiai ir sudaro geometrinę progresiją, kurios vardiklis q = 2. Kuris iš šių skaičių gali būti to stačiakampio gretasienio tūris? (120, 188, 216, 350, 500)
- Dėžėje buvo septynios kortos, sunumeruotos skaičiais nuo 1 iki 7. Pirmas išminčius atsitiktinai ištraukė iš dėžės 3 kortas, tada antras išminčius ištraukė 2 kortas (dėžėje liko 2 kortos). Pažiūrėjęs į savo skaičius, pirmasis išminčius sako antrajam: “Aš žinau, kad tavo skaičių suma lyginė”. Kam lygi pirmojo išminčiaus ištrauktų skaičių suma?
- Kiek yra tokių 2008-ženklių skaičių, kad bet kuris dviženklis skaičius, sudarytas iš dviejų gretimų skaitmenų, dalijasi arba iš 17, arba iš 23?
Prie visų šitų uždavinių buvo pateikta po penkis atsakymo variantus, bet juk tikriems skaičiuokliams jų nereikia {: Sėkmės sprendžiant! Baisiai pasimetusiems kuriame nors uždavinyje padėsiu (jei pats mokėsiu).
Kartais (iš tiesų, labai nedažnai) prireikia sužinoti, kokia savaitės diena buvo prieš kokius penkiasdešimt metų. Tam yra paprastas kelias (įsijungti mobiliojo telefono kalendorių ir patikrinti), bet yra ir įdomesnis, matematinis kelias, kurį čia ir išaiškinsiu.
Geriausia tą daryti pagriebus kokį nors pavyzdį, o geriausias pavyzdys — mano gimimo diena {: Taigi žiūrim: 1990 rugsėjo 14 diena.
- Randame metų skaičių. Nesunku — 90.
- Randame pilną metų ketvirtį. Šiuo atveju tai yra 88-ių (90 nesidalija iš 4, taigi imame tik mažesnį skaičių) ketvirtis, arba 22 (Jeigu tai keliamieji metai (dalybos iš keturių liekanos nėra), tačiau dar nepraėjo vasario 29 diena, iš ketvirčio reikia atimti vienetą (nes dienos dar nepersislinko)).
- Iš lentelės (žr. žemiau) randame mėnesio skaičių. Rugsėjo skaičius — 3.
- Randame dienos skaičių — 14.
- Randame amžiaus skaičių. Tai buvo XX a., kurio skaičius yra 1.
- Viską sudedame: 90 + 22 + 3 + 14 + 1 = 130.
- Randame dalybos iš septynių liekaną, kuri yra 4.
- Vadinasi, diena buvo penktadienis (0 yra pirmadienis, 6 yra sekmadienis).
Toliau pateikiama lentelė yra itin pravarti, nes joje yra sužymėti skaičiai, kurie dalijasi iš keturių (kai reikia rasti ketvirtį), skaičiai, kurie dalijasi iš septynių (lengva rasti liekaną), surašytos mėnesių ir amžių reikšmės, taip pat surašyti visi skaičiai iki 160 (braukiant pirštu lengviau sudėti daug skaičių).
Visa šita sistema mano suskaičiuota ir sumeistruota, tad vokite drąsiai (ir mokykite kitus).
6 nuomonės