Šiandien sprendžiau šiuos uždavinius. Įdomu tai, kad prireikė praktiškai viso laiko — net 4 valandų. O uždavinių tik keturi. Smagiai pramankštinkite savo smegenus, jei netingit. (4 itin sunkiai įrodomas, 2 šiaip nelengvas, 1 lengvokas, bet buvo tokių, kurie suklydo, o 3 tikrai lengvas, bet labai gražus)
- Nustatykite, kiek yra natūraliųjų skaičių, užrašomų vien nuliais, vienetais ir dvejetais bei mažesnių už 1002002001. (Gavau 21195)
a, b, c, d yra keturi skirtingi pirminiai skaičiai, tenkinantys lygybes
2a + 3b + 5c + 7d = 162
11a + 7b + 5c + 4d = 162
Rasti visas sandaugos abcd reikšmes (Gavau vienintelę galimą reikšmę 570; tiesa, originaliai a, b, c ir d buvo pavadinti p1, p2, p3 ir p4, bet vardan patogumo parašiau skirtingomis raidėmis)- ABCD yra kvadratas, o ABE — lygiakraštis trikampis, esantis kvadrato išorėje ir turintis su juo bendrą kraštinę AB. Kam lygus trikampio CDE apibrėžtinio apskritimo spindulys, jei kvadrato ABCD kraštinė lygi 1? (Gavau 1)
- Raskite visus tokius natūraliųjų skaičių trejetus (a,b,c), kad a, b ir c būtų stačiojo trikampio, kurio plotas lygus a+b+c, kraštinių ilgiai. (Gavau keturis: (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 6, 10), (12, 5, 13))
UPDATE: Pasirodo, surinkau 19 taškų iš 20 (kiekviena užduotis buvo įvertinta 5 taškais) ir užėmiau antrą vietą mieste. Smagu (:
O neturi galiot pitagoras paskutiniame uždavinyje? 6 8 ir 10 tinka, nes 36 + 64 = 100, tačiau 5 12 ir 13 atrodo, kad nebūtų status trikampis. Dar atrodo, kad tiktų ir kitokios 6 8 10 kombinacijos, nes nepasakyta, kad c yra įstrižainė.
Suklydau su 5 12 13, tinka ir jie, bet ir jų skirtingos kombinacijos turėtų tikt tada… Lyg ir 12 iš viso gautųsi.
Na, taip, tam tikra prasme, tinka ir kitaip išdėlioti šitie skaičiai. bet visgi nemanau, kad tai esmė.
(bet jo, juokingai atrodo, kai pateikiu kiekvieno po dvi, o ne po šešias)
O kuriam tą tašką praganei?
Beje, antrasis (vienuoliktokai, kurių uždavinius sprendžiau šiandien, turėjo identišką) man tapo itin lengvu, kai buitiškai per “kiek lyginių ir kiek nelyginių turi būti dėmenų” greit įrodžiau, kad c=2. Nežinau, aš neišprusus, gal dvyliktokai turi kietesnių būdų tokiems uždaviniams spręsti, bet užtat kelias greitas ;D
Kur radai rezultatus, jei jau zinai, kad 2? :)
man sakė mokytojas, kuris taisė, bet rezultatus galima ir kažkur kitur sužinoti.